Anthropologie - Dialectique - Idéel - Irrationnel - Pensée - Raison pure - Représentation - Texte - Vérité

Anthropologie

Titre : Philosophie de la critique

Auteur : Christine CHAUVIRE

Source : http://www.univ-paris-diderot.fr/philomathique

On sait que Wittgenstein a revendiqué dans BGM un regard anthropologique sur les mathématiques : « les mathématiques sont un phénomène anthropologique » (BGM, p.399), au même titre que la couture et la cuisine. Au point que BGM parle presque plus de philosophie sociale que de philosophie mathématique : la grammaire y apparaît comme un fait social parmi d autres. Mais qu on ne voie là aucune épistémologie naturalisée des mathématiques, réductibles à des propositions anthropologiques, c est-à-dire empiriques¹. Il s agit plutôt pour notre auteur de faire de l existence des mathématiques, et notamment du calcul, comme de celle de la cuisine et de ses règles (GP, X, § 133), « un fait de notre histoire naturelle ». Et si l on objecte à Wittgenstein: « Ce que tu dis revient à dire que la logique appartient à l histoire naturelle de l homme. Et cela est inconciliable avec la dureté du « Doit » logique » (BGM, VI, § 49), il réagit vivement : les propositions logiques « ne sont pas des proposition de l histoire naturelle de l homme ». L interlocuteur peut insister : « Oui, mais le fait que les hommes calculent de cette façon reste un fait empirique ! », Wittgenstein reste ferme : » - Oui, mais les propositions mathématiques ne deviennent pas des propositions empiriques » (BGM, p. 381). Elles jouent en effet, avec les propositions logiques, « le rôle de règles de représentation par opposition aux propositions qui décrivent » (BGM, p. 363), n étant plus dès lors dans la dimension du vrai ou du faux, et fixant, comme dans le TLP, le cadre transcendantal de la description du réel. Si naturalisme il y a dans BGM, il n est certainement pas réductionniste, et, nous allons le voir, il préserve 1- la distinction normatif/factuel, et 2-la nécessité. > lire le texte

Dialectique

Titre : L’aventure mathématique de la dialectique depuis Hegel. Perspectives sur les visages contemporains du « problème de la dialectique » en épistémologie des mathématiques et de leur histoire. (Résumé de thèse)

Auteur : Emmanuel Barot

Source : http://w3.univ-tlse2.fr/philo/IMG/pdf/Barot._Resume_These_2004.pdf

L’aventure à plusieurs visages dont on s’efforce, dans cette thèse, de retracer les tenants et aboutissants, est essentiellement « continentale ». Centrée sur les échanges philosophique, épistémologique, et mathématique, qu’ont entretenus les pensées allemande et française, elle part de la formulation par Hegel du problème philosophique ici appelé le « problème de la dialectique », dont les termes sont exposés initialement par Kant : dans sa généralité, c’est celui de la détermination conjointe du caractère historique de la rationalité, et du caractère rationnel du processus historique.

i. Sur le fond et dans les termes du procès d’auto-réalisation dialectique du Concept, on montre que c’est avec Hegelque l’historicité et la rationalité des formations conceptuelles, et en particulier des théories scientifiques, deviennent un objet central du discours philosophique sur les sciences. Les schèmes dialectiques qu’il utilise vont constituer un outil matriciel, pour l’épistémologie continentale des XIXème et XXème siècles, de la prise en charge de ce problème, et cela tout particulièrement dans les deux champs de l’épistémologie des mathématiques et de celle de leur histoire (CHAP. I). Ces deux champs son intimement liés, et leur intrication répond à l’exigence de rendre raison d’une double objectivité mathématique : celles des théories comme produits de l’histoire, et celles des objets intrathéoriques. Et depuis Hegel jusqu’à aujourd’hui, deux traditions essentielles mobilisent le mode de penser dialectique dans ces domaines, sur le fond de la thèse kantienne selon laquelle la connaissance mathématique n’est pas une connaissance d’objets, mais une connaissance dont il faut appréhender les conditions de l’objectivité. > lire la suite

Idéel

Titre : Le visuel et l'idéel dans les objets mathématiques. Réflexions sur l'ancienne géométrie

Auteur : Maurice CAVEING

Source : http://www.univ-paris-diderot.fr

 

(...) I. La "figure" dans le traité d'Euclide.
Le mot latin "figura" traduit le grec "schéma" qui désigne un objet géométrique. En revanche un tracé comportant l'agencement de plusieurs de ces figures entre elles (par exemple un pentagone inscrit dans un cercle, ou bien la représentation graphique des données d'un problème) est désigné par un terme différent : "diagramma". C'est donc par abus de terme et confusion des deux que l'on parle en général des "figures" que l'on trouve, par exemple, dans les manuscrits. Nous ne nous occupons ici que des figures au sens propre.
Eucl.El. I Df.13 Une frontière est ce qui est limite de quelque chose.
I Df.14 Une figure est ce qui est contenu par quelque ou quelques frontière(s).
Remarque : ces définitions ne sont pas très satisfaisantes. D'après les contextes, on sait que la notion générale de "limite" s'oppose, depuis
les Pythagoriciens, à celle d"'illimité» : ainsi la Df.3 dit que les limites d'une ligne sont des points. Comme, d'après la Df.14,une frontière "contient" quelque chose, on peut comprendre qu'une frontière est une limite fermée, ce qui implique déjà la notion de figure ! Frontière et figure sont des termes corrélatifs, et l'on note que "figure" désigne à la fois la frontière et ce qu'elle contient : un cercle est un disque avec sa circonférence. Il y a cependant clairement deux sortes de figures : à deux ou à trois dimensions.
Les figures sont données d'espèce, de grandeur et de position. > lire le texte

Irrationnel

Titre : L'obscur mathématique ou l'ouvert mathématique

Auteur : Joël Merker

Source : http://www.cmi.univ-mrs.fr

 

§4. THÈSES SUR L'OUVERT ET SUR LE PRINCIPE DE NON-SAVOIR
4.1. Existence. La première de ces thèses est un axiome d'existence: L'Ouvert dans la pensée existe au même titre que le mouvement dans les réalités matérielles. Autrement dit, l'Ouvert, qui existe, est un "impensable" de type réflexif, et il continue à être aussi mystérieux pour la pensée que le mouvement. De plus, l'Ouvert s'articule fondamentalement à un principe de non-savoir décidé dans la pensée.
4.2. Principe de non-savoir. En résumé, ce principe de non-savoir énonce qu'il y a du non-savoir pur. Il énonce aussi que l'on sait qu'il y a du non-savoir. De plus, il se trouve que ce principe est "le" principe même de "suspension du savoir" , que la méditation philosophique rigoureuse prend pour guide dans sa progression, en tant qu'elle ressasse indéfiniment le message socratique, d'après lequel: "je sais [surtout] que je ne sais pas". Ce sera donc ce philosophème dû à Socrate que l'on prendra pour formulation du principe de non-savoir, à condition bien sûr de l'entendre aussi au sens impersonnel: "le savoir sait [surtout] qu'il ne sait pas", ou, de manière équivalente, "le savoir sait ne pas savoir". Ainsi s'éclaire la conscience abstraite que possède le savoir mathématique, de l'incessant et de l'irréversible décalage entre des hypothèses provisoires et des résultats idéalement définitifs. > lire le texte

Pensée

Titre : La pensée mathématique

Auteur : Jean Cavaillès

Source : http://www.sofrphilo.fr

 

(Extrait) - Les Mathématiques constituent un devenir, c'est-à-dire une réalité irréductible à autre chose qu'elle-même. Que peut signifier l'entreprise : définir les Mathématiques ? C'est : ou bien dire les Mathématiques sont ceci qui n'est pas mathématique, et alors c'est absurde – ou bien recenser les procédés employés par les mathématiciens.
Je laisse de côté la première solution, quoi qu'elle ait eu et ait encore des défenseurs. Reste la seconde. Je crois qu'aucun mathématicien n'accepterait que l'on recense, d'une façon définitive et exhaustive, les procédés qu'il emploie. On peut les recenser à un moment donné, mais il est absurde de dire : ceci est uniquement mathématique, et, hors de l'utilisation de ces procédés, nous ne ferons plus de Mathématiques. Je crois que je suis ici en accord, d'une part, avec les résultats obtenus, comme par exemple le caractère nécessairement non saturé de toute théorie mathématique, qui prouve l'exigence de l'intervention de nouvelles règles de raisonnement chaque fois qu'une théorie se développe, et, d'autre part, avec la conception des Mathématiques telle qu'elle se trouve dans l'intuitionnisme, et Heiting, par exemple, écrivait récemment que les Mathématiques constituent un système organique en plein développement, auquel il est inadmissible de vouloir assigner des bornes.
Les Mathématiques sont un devenir. Tout ce que nous pouvons faire, c'est essayer d'en comprendre l'histoire, c'est-à-dire, pour situer les Mathématiques parmi d'autres activités intellectuelles, de trouver certaines caractéristiques de ce devenir. j'en citerai deux :
    1° Ce devenir est autonome, c'est-à-dire que, s'il est impossible de se placer hors de lui, on peut, en étudiant le développement historique, contingent, des Mathématiques, tel qu'il se présente à nous, apercevoir des nécessités sous l'enchaînement des notions et des procédés. Ici, évidemment, le mot «nécessité» ne peut pas être précisé d'une autre façon. On note des problèmes, et on s'aperçoit que ces problèmes exigeaient l'apparition d'une nouvelle notion ; c'est tout ce qu'on peut faire, et il est certain que cet emploi du mot «exiger» nous est trop facile, puisque nous sommes de l'autre côté, nous voyons les réussites. Nous pouvons pourtant dire que les notions qui sont apparues ont vraiment apporté une solution à des problèmes qui se posaient effectivement.  > lire le texte

 

Raison pure

Titre : Kant et la mathématique moderne

Auteur : Couturat

Source : http://www.sofrphilo.fr

On sait que la question capitale de la Critique de la Raison pure est celle-ci : Comment des jugements synthétiques a priori sont-ils possibles ? Que de tels jugements existent, cela ne paraît pas douteux à Kant : les propositions métaphysiques, d'une part, et les propositions mathématiques, d'autre part, sont pour lui des jugements synthétiques a priori. Mais il fait une grande différence entre ces deux espèces de propositions au point de vue de leur valeur. Dans la Méthodologie transcendantale, en effet, il distingue nettement la métaphysique de la mathématique : la métaphysique est la connaissance rationnelle par concepts, tandis que la mathématique est la connaissance rationnelle par construction de concepts : elle construit ses concepts, c'est-à-dire qu'elle les représente dans une intuition a priori ; or nous n'avons pas d'autre intuition que l'intuition sensible, et pas d'autre intuition a priori que celle de l'espace et du temps. L'espace et le temps sont «les grandeurs originaires uniques», et c'est pourquoi la mathématique ne peut s'appliquer qu'à la grandeur, et au nombre, schème de la grandeur. Les jugements synthétiques a priori de la mathématique sont donc possibles et légitimes, parce qu'ils reposent sur des synthèses effectuées dans l'intuition a priori. Au contraire, la métaphysique, étant une connaissance par concepts, ne peut, en spéculant sur des concepts abstraits, qu'en tirer ce qui y est logiquement contenu, et par suite ne peut formuler valablement que des jugements analytiques. Les jugements synthétiques a priori de la métaphysique sont donc possibles, mais illégitimes.
          Ainsi Kant sépare et oppose radicalement la métaphysique et la mathématique au point de vue de la méthode. Il va jusqu'à soutenir que seule la mathématique peut avoir des axiomes et des démonstrations. Elle seule a des axiomes, c'est-à-dire des principes synthétiques a priori, parce que de tels principes ne peuvent être fondés que sur les intuitions pures de l'espace et du temps. > lire la suite

 

Représentation

Titre : Les mathématiques à l'épreuve de la représentation

Auteur : David Rabouin

Source : http://ciepfc.rhapsodyk.net

De quoi parlent les mathématiques ? Que nous donnent-elles à voir ? Les questions qui orientent l'enquête de Lucien Vinciguerra pourront sembler bien générales. Elles trouvèrent leur impulsion, nous est-il dit, dans une remarque qui ne portait d'ailleurs pas sur les mathématiques, mais sur une vignette : le fameux « canard-lapin » de Wittgenstein. Qu'y voit-on ? Un canard ? Un lapin ? Un peu des deux ? Quel langage pourra donc échapper à cette indécision ? Et de quel rêve fou les mathématiques ont-elles pu se nourrir pour croire y parvenir ? Pour autant, il ne saurait s'agir d'investir le champ des mathématiques à partir de cette question résolument naïve. Ce serait poser le langage comme surface d'inscription miraculeusement transparente où lire le jeu des différences. Ce serait privilégier sans raison un des pôles du dispositif annoncé : Langage, visibilité, différence. Or le discours lui-même a sa part d'obscurité, celle de l'histoire, de la contingence irréductible qui nimbe chaque énoncé. Ainsi se trouvent d'emblée mis à distance les deux points aveugles de la plupart des « philosophies des mathématiques » : le postulat d'une transparence du langage de la théorie à ce qu'elle donne à voir ; le déni de la part irréductible de contingence que porte son inscription dans une histoire. D'où le choix d'une suite de « tableaux historiques » qui, de Viète à Felix Klein, exposeront les manières dont nos trois protagonistes (Langage, Visibilité et Différence) ont joué leur histoire et leurs indécisions. > lire la suite

Texte

Titre : Texte, Mathématiques, Philosophie et Sujet

Auteur : Jean-Michel Salanskis

Source : http://methodos.revues.org Le projet de cet article est double :

Le projet de cet article est double :

–d’une part, on voudrait proposer quelques vues sur la textualité philosophique à partir d’une étude de la textualité mathématique, en supposant que ce qui est dégagé comme possibilité ou comme problème quant à la seconde apporte un enseignement sur la première ;
–d’autre part, on voudrait méditer sur les rapports qui lient la figure du texte et celle du sujet, en traitant d’un aspect à première vue tout à fait particulier de la textualisation philosophique : celui de l’admission en son sein des marqueurs de la première personne du singulier.
Si ces deux approches, ces deux efforts théoriques ont quelque chose de solidaire et de convergent, c’est ce que l’on avoue ignorer a priori.

Textualisation mathématique et philosophique.

On essaiera donc d’abord d’étudier la textualisation de la mathématique, pour remonter de cette étude à une réflexion sur la textualisation philosophique, en privilégiant successivement trois questions.
1) La forme textuelle étant considérée comme l’élément dans lequel la rigueur logique se laisse saisir et garantir, on interrogera le texte mathématique (puis le texte philosophique) sur sa compatibilité, en tant que texte, avec la norme de la déductivité.
2) La forme textuelle étant envisagée comme ce au titre de quoi la mathématique devient objet de savoir anthropologique, on réfléchira sur la possibilité et la légitimité d’une étude externaliste de la mathématique (puis de la philosophie) via son texte.
3) L’inscription textuelle étant regardée comme ce qui est commun à presque toutes les démarches de la culture (de l’esprit, si l’on veut), on se demandera si, et comment, un texte peut être hybride, appartenir au genre mathématique et au genre philosophique à la fois, en cherchant, à nouveau, à poser cette question apparemment médiane à la fois du côté de la mathématique et du côté de la philosophie. > lire le texte

Vérité

Titre : Qu'est-ce que la vérité mathématique ?

Auteur : Hilary PUTNAM

Source : http://peccatte.karefil.com

 

(...) Imaginons maintenant que nous ayons pris contact avec une civilisation avancée sur la planète Mars. Nous apprenons sans trop de difficultés le langage des Martiens et nous commençons à lire leurs journaux, leurs magazines, leurs oeuvres littéraires, leurs ouvrages et revues scientifiques, etc. Nous rencontrons alors quelques surprises lorsque nous abordons leur littérature mathématique.
La profondeur des résultats qu'ils prétendent avoir obtenu constitue la première surprise. De nombreuses propositions que nos meilleurs mathématiciens ont vainement essayé de démontrer - par exemple, le fait que toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs (*) , les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann situés dans la bande comprise entre 0 et l'unité sont en fait situés sur la ligne ½ - sont mentionnées comme des affirmations dans leurs manuels. Nous commençons à lire avidement ces manuels afin d'apprendre les preuves de ces merveilleux résultats. Il apparaît alors à notre plus grande surprise que les Martiens se fient à des méthodes quasi-empiriques en mathématiques !
J'entends par "méthodes quasi-empiriques" des méthodes analogues à celles des sciences physiques, à l'exception du fait que les énoncés singuliers "généralisés par induction" ou utilisés pour tester les "théories" [etc.], sont eux-mêmes des produits de preuves ou de calculs plutôt que des "rapports d'observation" au sens habituel. Si, par exemple, nous décidons d'accepter l'hypothèse de Riemann (c'est-à-dire la proposition que l'on vient de mentionner concernant les zéros de la fonction zêta) parce que des recherches intensives effectuées à l'aide d'ordinateurs n'ont pas réussi à trouver un contre-exemple [et également parce que plusieurs "théorèmes" ont été prouvé avec son aide et aucun d'entre eux n'a été invalidé; de plus, les conséquences de l'hypothèse - qui sont importantes dans la théorie des nombres premiers, dans d'autres branches de la théorie des nombres ainsi que dans la théorie algébrique des nombres - sont plausibles et d'une portée considérable, etc.], alors nous pouvons tout aussi bien dire, non que nous avons prouvé l'hypothèse de Riemann, mais que nous l'avons "vérifié" par une méthode quasi-empirique. A l'instar de la vérification empirique, la vérification quasi-empirique est relative et non absolue; ce qui a été "vérifié" à un moment donné peut se révéler ensuite erroné. Mais existe-t-il une raison autre que sociologique pour que les méthodes quasi-empiriques ne puissent pas être utilisées en mathématiques ? S'il s'avère que les Martiens utilisent des méthodes quasi-empiriques et que leur pratique mathématique soit extrêmement fructueuse, pouvons-nous affirmer que ces méthodes soient irrationnelles ?
Une réponse ordinaire ("ordinaire" pour un philosophe d'une cuvée récente quelconque) consisterait à affirmer que les Martiens sont conceptuellement confus parce qu'"ils ne savent pas ce qu'est une preuve". Et l'on pourrait poursuivre en indiquant que si l'on ne sait pas ce qu'est une preuve, on ne sait pas ce que sont les mathématiques; et même - de manière plus incertaine toutefois -, que si l'on ne sait pas ce qu'est une preuve mathématique, alors on ne comprend pas les assertions en question (l'hypothèse de Riemann ou une autre) comme des assertions mathématiques. > lire la suite

 

Titre : Evolution du concept de vérité en mathématiques

Auteur : Fabienne Bossy

Source : http://www.reunion.iufm.fr

Pendant de nombreux siècles, les mathématiques ont incarné le domaine de la vérité par excellence et on s'est plu à opposer leurs certitudes inébranlables aux discussions interminables des philosophes. En effet, depuis les "éléments" d'Euclide qui est le premier à avoir réellement formalisé la géométrie, les mathématiciens se sont efforcés de construire leurs théories en respectant des règles de logiques et de déductions admises par tous, leur conférant par là-même un statut de vérité absolue. Les mathématiques apportent la preuve de ce qu'elles avancent et la solution d'un problème est toujours unique et définitive (même si elle peut-être complexe) alors que les philosophes semblent s'opposer en débats sans fin sur tout problème abordé.
Les mathématiques représentaient ainsi jusqu'au 19ème siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle. Pourtant, Euclide avait laissé avec son 5ème postulat le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries non-euclidiennes et la fin de cette belle certitude des mathématiques. On s'aperçoit dès lors que les mathématiques peuvent être scindées en des théories multiples et indépendantes et dont les résultats parfois contradictoires ne dépendent que de l'axiomatique de départ et de la prise en compte de tel ou tel axiome comme par exemple le 5ème postulat ou l'axiome du choix. Cette crise des mathématiques atteindra son paroxysme lorsque le mathématicien Gödel énoncera son fameux théorème d'incomplétude qui détruira tous les espoirs de pouvoir formaliser un jour entièrement les mathématiques. Ce théorème affirme que tout système formel consistant est incomplet, c'est-à-dire qu'il possède toujours des propositions indécidables dont on ne pourra jamais dire à l'intérieur de ce même système si elles sont vraies ou fausses, et par suite, qu'on ne peut pas démontrer la consistance d'un système formel sans faire appel à système extérieur.
La vérité en mathématiques n'est donc plus unique, absolue et totale mais plurielle, relative et incomplète. > lire la suite

 

20/09/2007