DEDUCTION

DESCARTES, René

Par suite on peut se demander pourquoi, en plus de l'intuition, nous avons ajouté ici un autre mode de connaissance qui se fait par déduction; par laquelle nous entendons tout ce qui conclut nécessairement d'autres choses connues avec certitude, bien qu'elles ne soient pas elles-mêmes évidentes, du moment qu'elles sont déduites de principes vrais et connus, par un mouvement continu et ininterrompu de la pensée qui a l'intuition de chaque terme d'une manière distincte. C'est ainsi que nous savons que le dernier anneau de quelque longue chaîne est connecté au premier, même si nous ne voyons d'un seul et même coup d'œil tous les intermédiaires dont dépend ce lien. Il suffit que nous les ayons parcourus un à un, et que nous nous souvenions que, du premier au dernier, chacun tient au précédent et au suivant. Nous distinguons donc ici l'intuition intellectuelle d'une déduction certaine en ce que l'on conçoit en celle-ci un mouvement ou une certaine succession, et pas dans l'autre ; et que de plus, pour la déduction une évidence actuelle n'est pas exigée comme pour l'intuition, mais plutôt qu'elle tire sa certitude de la mémoire. D'où il s'ensuit, concernant les propositions qui sont la conséquence immédiate des premiers principes, qu'on peut dire, selon la manière de les considérer, tantôt qu'on les connaît au moyen de l'intuition, tantôt qu'on les connaît au moyen de la déduction; mais les premiers principes eux:-mêmes ne sont connus que par intuition ; et, à l'inverse, les conclusions éloignées ne peuvent être connues que par déduction.

Règles pour la direction de l'esprit (trad. originale François Deviers-Jonlon)
 

 

ESPRIT

SPINOZA, Baruch

Cette idée qui exprime l'essence du Corps sous une espèce d'éternité est, comme nous l'avons dit, une manière de penser précise, qui appartient à l'essence de l'Esprit, et qui nécessairement est éternelle. Et pourtant il ne peut se faire que nous nous souvenions d'avoir existé avant le Corps puisqu'il ne peut y en avoir de traces dans le Corps, et puisque l'éternité ne peut ni se définir par le temps ni avoir aucun rapport au temps. Et néanmoins nous sentons et savons d'expérience que nous sommes éternels. Car l'Esprit ne sent pas moins les choses qu'il conçoit en comprenant, que celles qu'il a en mémoire. En effet, les yeux de l'Esprit, par le moyen desquels il voit les choses et les observe, ce sont les démonstrations elles-mêmes. Quoique donc nous ne nous souvenions pas d'avoir existé avant le Corps, nous sentons pourtant que notre Esprit, en tant qu'il enveloppe l'essence du corps sous une espèce d'éternité, est éternel, et que cette existence qui est la sienne ne peut se définir par le temps, autrement dit s'expliquer par la durée. Notre Esprit ne peut donc être dit durer, et son existence ne peut se définir par un temps précis, qu'en tant qu'il enveloppe l'existence actuelle du Corps, et ce n'est qu'en cela qu'il a la puissance de déterminer par le temps l'existence des choses, et de les concevoir sous la durée.

Éthique (1675), Livre V, Proposition XXIII, Scolie, trad. B. Pautrat, Éd. du Seuil, coll. «Points Essais », 1999, pp. 515-517.
 

 

EXISTENCE DE DIEU

DESCARTES, René

Or maintenant, si de cela seul que je puis tirer de ma pensée l'idée de quelque chose, il s'ensuit que tout ce que je reconnais clairement et distinctement appartenir à cette chose, lui appartient en effet, ne puis-je pas tirer de ceci un argument et une preuve démonstrative de l'existence de Dieu? Il est certain que je ne trouve pas moins en moi son idée, c'est-à-dire l'idée d'un être souverainement parfait, que celle de quelque figure ou de quelque nombre que ce soit. Et je ne connais pas moins clairement et distinctement qu'une actuelle et éternelle existence appartient à sa nature, que je connais que tout ce que ce je puis démontrer de quelque figure ou quelque nombre, appartient véritablement à la nature de cette figure ou de ce nombre. Et partant, encore que tout ce que j'ai conclu dans les Méditations précédentes ne se trouvât pas véritable, l'existence de Dieu doit passer en mon esprit au moins pour aussi certaine, que j'ai estimé jusques ici toutes les vérités des mathématiques, qui ne regardent que les nombres et les figures: bien qu'à la vérité cela ne paraisse pas d'abord entièrement manifeste, mais semble avoir quelque apparence de sophisme. Car, ayant accoutumé dans toutes les autres choses de faire distinction entre l'existence et l'essence, je me persuade aisément que l'existence peut être séparée de l'essence de Dieu, et qu'ainsi on peut concevoir Dieu comme n'étant pas actuellement. Mais néanmoins, lorsque j'y pense avec plus d'attention, je trouve manifestement que l'existence ne peut non plus être séparée de l'essence de Dieu, que de l'essence d'un triangle rectiligne la grandeur de ses trois angles égaux à deux droits, ou bien de l'idée d'une montagne l'idée d'une vallée; en sorte qu'il n'y a pas moins de répugnance de concevoir un Dieu (c'est-à-dire un être souverainement parfait) auquel manque l'existence (c'est-à-dire auquel manque quelque perfection), que de concevoir une montagne qui n'ait point de vallée.
Mais encore qu'en effet je ne puisse pas concevoir un Dieu sans existence, non plus qu'une montagne sans vallée, toutefois, comme de cela seul que je conçois une montagne avec une vallée, il ne s'ensuit pas qu'il y ait aucune montagne dans le monde, de même aussi, quoique je conçoive Dieu avec l'existence, il semble qu'il ne s'ensuit pas pour cela qu'il y en ait aucun qui existe : car ma pensée n'impose aucune nécessité aux choses; et comme il ne tient qu'à moi d'imaginer un cheval ailé, encore qu'il n'yen ait aucun qui ait des ailes, ainsi je pourrais peut-être attribuer l'existence à Dieu, encore qu'il n'y eût aucun Dieu qui existât. Tant s'en faut, c'est ici qu'il y a un sophisme caché sous l'apparence de cette objection: car de ce que je ne puis concevoir une montagne sans vallée, il ne s'ensuit pas qu'il y ait au monde aucune montagne, ni aucune vallée, mais seulement que la montagne et la vallée, soit qu'il y en ait, soit qu'il n'yen ait point, ne se peuvent en aucune façon séparer l'une d'avec l'autre; au lieu que, de cela seul que je ne puis concevoir Dieu sans l'existence, il s'ensuit que l'existence est inséparable de lui, et partant qu'il existe véritablement: non pas que ma pensée puisse faire que cela soit de la sorte, et qu'elle impose aux choses aucune nécessité; mais, au contraire, parce que la nécessité de la chose même, à savoir de l'existence de Dieu, détermine ma pensée à le concevoir de cette façon. Car il n'est pas en ma liberté de concevoir un Dieu sans existence (c'est-à-dire un être souverainement parfait sans une souveraine perfection), comme il m'est libre d'imaginer un cheval sans ailes ou avec des ailes.

Méditations métaphysiques, "Cinquième Méditation", dans Œuvres de Descartes, éditions Ferdinand Alquié, Garnier t. II, p.472.

 

FAIT

HUME, David

Une proposition comme celle-ci : le soleil ne se lèvera pas demain, n'est pas moins intelligible et n'implique pas davantage contradiction que cette autre affirmation : il se lèvera. C'est donc en vain que nous tenterions d'en démontrer la fausseté. Si elle était fausse démonstrativement, elle impliquerait contradiction, et jamais l'esprit ne pourrait la concevoir distinctement.
Il pourrait donc être intéressant de rechercher quelle est la nature de cette évidence qui nous donne la certitude d'une existence réelle et d'une chose de fait en l'absence du témoignage présent de nos sens ou des souvenirs enregistrés par notre mémoire. [ ... ]
Tous les raisonnements relatifs à une chose de fait paraissent fondés sur la relation de cause à effet. Seule cette relation nous permet de dépasser le témoignage de notre mémoire et de nos sens. Demandez à un homme pourquoi il ajoute foi à la réalité d'une chose de fait dont il n'est pas témoin: pourquoi il croit que son ami est à la campagne, par exemple, ou en France; il vous donnerait une raison, et cette raison serait un autre fait: il a reçu une lettre de lui, ou il connaît ses résolutions et ses promesses antérieures. L'homme qui trouverait une montre, ou quelque autre instrument, dans une île déserte, en conclurait qu'il y a eu autrefois des hommes dans cette île. Tous nos raisonnements en matière de fait sont de même nature. On suppose constamment qu'il y a un lien entre le fait présent et celui qui en est inféré. [ .. .]
Ainsi, pour déterminer à notre propre satisfaction la nature de cette évidence qui est la source de notre certitude touchant les choses de fait, il nous faut rechercher comment nous acquérons la connaissance de la cause et de l'effet.
Je me permettrai d'affirmer - et c'est là, selon moi, une proposition générale qui ne souffre point d'exception - que la connaissance de cette relation n'est acquise en aucun cas par des raisonnements a priori ; mais qu'elle vient uniquement de l'expérience, qui nous montre des objets particuliers dans une liaison constante. Présentez un objet à une personne: quelles que soient la raison naturelle et les facultés que vous lui supposiez, si cet objet est pour elle entièrement nouveau, elle sera impuissante, fût-ce par l'examen le plus attentif de ses qualités sensibles, à découvrir aucune de ses causes, aucun de ses effets.

Enquête sur l'entendement humain (1748), Le Livre de Poche, coll. «Classiques de la philosophie »,1999, p. 83-86.
 

 

 

DESCARTES, René

Voici le recensement de tous les actes de notre entendement qui nous permettent de parvenir à la connaissance des choses, sans aucune crainte de nous tromper. Il n'y en a que deux à admettre, savoir l'intuition et la déduction. Par intuition, j'entends, non la confiance flottante que donnent les sens ou le jugement trompeur d'une imagination aux constructions mauvaises, mais le concept que l'intelligence pure et attentive forme avec tant de facilité et de distinction qu’il ne reste absolument aucun doute sur ce que nous comprenons (…). Ici donc nous distinguons l'intuition intellectuelle de la déduction certaine par le fait que, dans celle-ci, on conçoit une sorte de mouvement ou de succession, tandis que dans celle-là, il n'en est pas de même (…). Les propositions qui sont la conséquence immédiate des premiers principes se connaissent d'un point de vue différent, tantôt par intuition, tantôt par déduction.

Règles pour la direction de l'esprit, III, Vrin

Seule une preuve apodictique, en tant qu'elle est intuitive, peut s'appeler démonstration. L'expérience nous apprend bien ce qui est, mais non que ce qui est ne puisse pas être autrement. Aussi les arguments empiriques ne peuvent-ils fournir aucune preuve apodictique. Mais la certitude intuitive, c'est-à-dire l'évidence, ne peut jamais résulter de concepts a priori (dans la connaissance discursive), quelque apodictiquement certain que puisse être, d'ailleurs, le jugement. Il n'y a donc que la mathématique qui contienne des démonstrations, parce qu'elle ne dérive pas sa connaissance de concepts, mais de la construction de concepts, c'est-à-dire de l'intuition qui peut être donnée a priori comme correspondante aux concepts.

Critique de la Raison pure, « Quadrige », Puf, 1984, p. 505.

 

PREMISSES

ARISTOTE

 

PREUVE

FREGE, Gottlob

Des formules numériques telles que 7 + 5 = 12 et des lois telles que celles de l'associativité ont été si souvent confirmées par d'innombrables applications quotidiennes qu'il peut sembler ridicule de les soumettre au doute et d'en réclamer une preuve. Mais il est inscrit dans l'essence des mathématiques que partout où l'on peut donner une preuve, elle est préférable à une confirmation inductive. Euclide prouve ce qu'on lui aurait bien volontiers accordé. Et quand la rigueur euclidienne a paru ne plus suffire, ont commencé les recherches qui se sont greffées sur l'axiome des parallèles.
Ainsi, le mouvement qui s'est donné pour but d'atteindre une rigueur extrême a largement dépassé ses premières motivations et celles-ci ne cessent de s'amplifier et d'accroître leur exigence.
C'est que la preuve n'a pas pour seule fin de libérer une proposition du doute ; elle permet en outre de pénétrer la dépendance relative des vérités. Une fois persuadé qu'un bloc de rocher est inébranlable parce qu'on a essayé sans succès de le faire bouger, on peut se demander ce qui le soutient si solidement. Plus on poursuivra la recherche, moins nombreuses seront les vérités fondamentales auxquelles on pourra tout ramener, et cette simplification est déjà en elle-même un but digne d'efforts. Peut-être même pourra-t-on espérer atteindre les procédés généraux de la construction des concepts et l'art des principes fondamentaux pour tous les cas, même les plus complexes, en prenant conscience de ce que les hommes ont fait instinctivement dans les cas les plus simples, pour peu que l'on dégage ce qui est universellement valide en ceux-ci.

Les Fondements de l'arithmétique, trad. Claude Imbert, © Éditions du Seuil, 1970, Paris, p. 126.
 

 

RECONNAISSANCE

ALAIN

Par la géométrie, je reconnais mon semblable ; et Socrate fit une grande chose le jour où il proposa le carré et la diagonale, tracée sur le sable, non point à Alcibiade ni à Ménon1 ni à quelqu'un de ces brillants messieurs, mais à l'esclave qui portait les manteaux. Ainsi Socrate cherchait son semblable, et l'appelait dans cette solitude des êtres que la société accomplit. Il formait donc cette autre société, de ses semblables; il les invitait, il les poursuivait, mais il ne pouvait les forcer; il ne pouvait ni ne voulait. Celui qui imite par force m'est aussi étranger qu'un singe; celui qui imite pour plaire ne vaut guère mieux. Ce qu'attend Socrate, c'est que l'autre soit enfin lui-même, par intérieur gouvernement, et ne croie personne, et ne flatte personne, attentif seulement à l'idée universelle. À ce point, ils se reconnaissent et se décrètent égaux. Une autre société se montre.

Saisons de l'esprit (1937), NRF, Gallimard, p. 229.
 

 

RIGUEUR

BLANCHé, Robert

La géométrie classique, sous la forme que lui a donnée Euclide dans ses Éléments, a longtemps passé pour un modèle insurpassable, et même difficilement égalable, de théorie déductive. Les termes propres à la théorie n'y sont jamais introduits sans être définis; les propositions n'y sont jamais avancées sans être démontrées, à l'exception d'un petit nombre d'entre elles qui sont énoncées d'abord à titre de principes: la démonstration ne peut en effet remonter à l'infini et doit bien reposer sur quelques propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles qu'aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain. Bien que tout ce qu'on affirme soit empiriquement vrai, l'expérience n'est pas invoquée comme justification: le géomètre ne procède que par voie démonstrative, il ne fonde ses preuves que sur ce qui a été antérieurement établi, en se conformant aux seules lois de la logique. Chaque théorème se trouve ainsi relié, par un rapport nécessaire, aux propositions dont il se déduit comme conséquence, de sorte que, de proche en proche, se constitue un réseau serré où, directement ou indirectement, toutes les propositions communiquent entre elles. L'ensemble forme un système dont on ne pourrait distraire ou modifier une partie sans compromettre le tout. Ainsi, "les Grecs ont raisonné avec toute la justesse possible dans les mathématiques, et ils ont laissé au genre humain des modèles de l'art de démontrer". Avec eux, la géométrie a cessé d'être un recueil de recettes pratiques ou, au mieux, d'énoncés empiriques, pour devenir une science rationnelle.

L'Axiomatique, § 1, Introduction générale, Éd. des PUF, 1955, pp. 1-2.
 

 

SYLLOGISME

ARISTOTE

 

Il faut d'abord établir quel est le sujet de notre enquête et de quelle discipline elle relève: son sujet, c'est la démonstration, et c'est la science démonstrative dont elle dépend. Ensuite nous devons définir ce qu'on entend par prémisse, par terme, par syllogisme, ce qu'est un syllogisme parfait et un syllogisme imparfait. Après cela, il faudra définir en quoi consiste, pour un terme, d'être ou non contenu dans la totalité d'un autre terme, et ce que nous entendons par être affirmé universellement et être nié universellement.
La prémisse est le discours qui affirme ou qui nie quelque chose de quelque chose, et ce discours est soit universel, soit particulier, soit indéfini. J'appelle universelle, l'attribution ou la non-attribution à un sujet pris universellement; particulière, l'attribution ou la non-attribution à un sujet pris particulièrement; indéfinie, l'attribution ou la non-attribution faite sans indication d'universalité ou de particularité : par exemple, les contraires rentrent dans la même science ou le plaisir n'est pas le bien.
La prémisse démonstrative diffère de la prémisse dialectique en ce que, dans la prémisse démonstrative, on prend l'une des deux parties de la contradiction (car démontrer, ce n'est pas demander, c'est poser), tandis que, dans la prémisse dialectique, on demande à l'adversaire de choisir entre les deux parties de la contradiction. Mais il n'y aura aucune différence en ce qui concerne la production même du syllogisme dans l'un et l'autre cas : en effet, qu'on démontre ou qu'on interroge, on construit le syllogisme en posant que quelque chose appartient ou n'appartient pas à une autre chose. Il en résulte qu'une prémisse syllogistique prise en général sera l'affirmation ou la négation de quelque chose au sujet de quelque chose, de la façon que nous venons de dire; elle est démonstrative si elle est vraie et obtenue au moyen des principes posés primitivement, tandis que, dans la prémisse dia­lectique, celui qui interroge demande à l'adversaire de choisir l'une des deux parties d'une contradiction, mais dès qu'il syllogise il pose une asser­tion portant sur l'apparence et le probable [ ... ]. - La nature de la prémisse, et la différence entre les prémisses syllogistique, démonstrative et dialec­tique seront déterminées dans la suite avec plus de précision, mais, pour notre usage présent, contentons-nous des définitions que nous venons de donner.

J'appelle terme ce en quoi se résout la prémisse, savoir le prédicat et le sujet dont il est affirmé, soit que l'être s'y ajoute, soit que le non-être en soit séparé.

Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre en résulte nécessairement par le seul fait de ces don­nées. Par le seul fait de ces données: je veux dire que c'est par elles que la conséquence est obtenue; à son tour, l'expression c'est par elles que la consé­quence est obtenue signifie qu'aucun terme étranger n'est en sus² requis pour produire la conséquence nécessaire.

J'appelle syllogisme paifait celui qui n'a besoin de rien autre chose que ce qui est posé dans les prémisses, pour que la nécessité de la conclusion soit évidente; et syllogisme imparfait, celui qui a besoin d'une ou plusieurs choses, lesquelles, il est vrai, résultent nécessairement des termes posés, mais ne sont pas explicitement énoncées dans les prémisses.

Dire qu'un terme est contenu dans la totalité d'un autre terme, ou dire qu'un terme est attribué à un autre terme pris universellement, c'est la même chose. Et nous disons qu'un terme est affirmé universellement quand on ne peut trouver dans le sujet aucune partie dont on ne puisse affirmer l'autre terme; pour l'expression n'être attribué à aucun, l'explication est la même.

Les Premiers Analytiques, Livre 1. chap. 1. trad. I. Tricot. Librairie ohilosophique J. Vrin, 1970, pp. 1-5.

 

VERITE

DESCARTES, rené

Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir, pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné l'occasion de m'imaginer que toutes choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s'entre-suivent en même façon et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre. Et je ne fus pas beaucoup en peine de chercher par lesquelles il était besoin de commencer : car je savais déjà que c'était par les plus simples et les plus aisées à connaître ; et considérant qu'entre tous ceux qui ont ci-devant recherché la vérité dans les sciences, il n'y a eu que les seuls mathématiciens qui ont pu trouver quelques démonstrations, c'est-à-dire quelques raisons certaines et évidentes, je ne doutais point que ce ne fût par les mêmes qu'ils ont examinées.

Discours de la Méthode, GF-Flammarion, 1966, p. 47-48.